Kunci jawaban LKS mat minat kelas 11 bab polinomial intan pariwara
Kunci UAS LKS Matematika peminatan kelas 11 semester 2 bab Polinomial
Kalau kurang jelas bisa komen aja di bawah hehhe :)
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
2f(x) – g(x) = 2(x4 – 2x3 – 4x + 3) – (2x4 + x3
+ 7x2 + 5x – 8)
= 2x4 – 4x3 – 8x + 6 – 2x4 – x3 – 7x2 –
5x + 8
= 2x4 – 2x4 – 4x3 – x3 – 7x2 – 8x – 5x
+ 6 + 8
= –5x3 – 7x2 – 13x + 14
Jadi, hasil 2f(x) – g(x) = –5x3 – 7x2 – 13x + 14.
2. Jawaban: e
f(x) × g(x) = (x2 – 2x)(x2 – x + 1)
= x4 – x3 + x2 – 2x3 + 2x2 – 2x
= x4 – 3x3 + 3x2 – 2x
Jadi, koefisien x3 adalah –3.
3. Jawaban: c
Polinomial f(x) berderajat 5 dan polinomial g(x)
berderajat 3, maka derajat f(x) × g(x) adalah
5 + 3 = 8.
Polinomial f(x) berderajat 5, maka derajat (f(x))2
adalah 5 × 2 = 10.
Derajat polinomial hasil operasi f(x) × g(x) – (f(x))2
sama dengan maksimum dari derajat f(x) × g(x)
dan (f(x))2 yaitu 10.
Jadi, derajat f(x) × g(x) – (f(x))2 adalah 10.
4. Jawaban: e
f(–3) = 2(–3)3 – 3(–3) – 5
= –54 + 9 – 5 = –50
Jadi, nilai polinomial adalah –50.
5. Jawaban: c
f(0) = 2(0)4 + 4(0)2 + 0 + 1 = 1
f(2) = 2(2)4 + 4(2)2 + 2 + 1
= 2(16) + 4(4) + 2 + 1
= 32 + 16 + 2 + 1 = 51
f(2) – 2f(0) = 51 – 2(1) = 51 – 2 = 49
Jadi, nilai f(2) – 2f(0) = 49.
6. Jawaban: d
f(x) = x4 – 8
g(x) = x3 – 2x2 – 10
h(x) = f(x) – g(x) = x4 – 8 – (x3 – 2x2 – 10)
= x4 – x3 + 2x2 + 2
h(2)= (2)4 – (2)3 + 2(2)2 + 2
= 16 – 8 + 8 + 2
= 18
Jadi, nilai h(2) = 18.
7. Jawaban: d
f(x) = (x – 3)(2x2 – px + 4)
⇔ f(2) = (2 – 3)(2(2)2 – p(2) + 4)
⇔ –8 = (–1)(8 – 2p + 4)
⇔ –8 = (–1)(12 – 2p)
⇔ 8 = 12 – 2p
⇔ 2p = 4
⇔ p = 2
Jadi, nilai p = 2.
8. Jawaban: e
f(2) = 15 + f(–1)
⇔ 2(2)3 – 6(2)2 + p(2) + 7 = 15 + 2(–1)3 – 6(–1)2
+ p(–1) + 7
⇔ 16 – 24 + 2p + 7 = 15 – 2 – 6 – p + 7
⇔ 2p – 1 = 14 – p
⇔ 3p = 15
⇔ p = 5
Jadi, nilai p = 5.
9. Jawaban: d
f(1) = 0
⇔ 13 + a(12) + b(1) + 2 = 0
⇔ 1 + a + b + 2 = 0
⇔ a + b + 3 = 0
⇔ a + b = –3 . . . (i)
f(2) = 0
⇔ 23 + a(22) + b(2) + 2 = 0
⇔ 8 + 4a + 2b + 2 = 0
⇔ 4a + 2b + 10 = 0
⇔ 4a + 2b = –10 . . . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
a + b = –3 × 2 2a + 2b = –6
4a + 2b = –10 × 1 4a + 2b = –10
–––––––––––– – –2a = 4
⇔ a = –2
Substitusikan a = –2 ke dalam persamaan (i).
a + b = –3
⇔ –2 + b = –3
⇔ b = –1
Diperoleh a = –2 dan b = –1.
g(x) = x2 – (a + b)x + ab
= x2 – (–2 – 1)x + (–2)(–1)
= x2 + 3x + 2
g(–1) = (–1)2 + 3(–1) + 2
= 1 – 3 + 2
= 0
Jadi, nilai g(–1) = 0.
10. Jawaban: d
Pembagian f(x) oleh (x + 2) menggunakan cara
skema Horner sebagai berikut.
–2 1 2 –2 1 8
–2 0 4 –10
+
1 0 –2 5 –2
Hasil bagi = x3 – 2x + 5
Sisa = –2
11. Jawaban: d
Misalkan f(x) = x3 + 5x2 + mx + 7
f(x) dibagi (x – 2) sisa 29, maka f(2) = 29.
f(2) = 29
⇔ 23 + 5(22) + m(2) + 7 = 29
⇔ 8 + 20 + 2m + 7 = 29
⇔ 2m = 29 – 35
⇔ 2m = –6
⇔ m = –3
Jadi, nilai m = –3.
12. Jawaban: a
Pembagian f(x) oleh (2x – 1) menggunakan cara
skema Horner sebagai berikut.
1
2 2 –7 11 –8
1 –3 4
+
2 –6 8 –4
Jadi, sisa pembagiannya adalah –4.
13. Jawaban: d
Pembagian polinomial 2x3 + x2 + x + 10 oleh
(2x + 3) menggunakan cara skema Horner.
– 3
2 2 1 1 10
–3 3 –6
2 –2 4 4
Hasil bagi = 2 2x 2x 4
2
− + = x2 – x + 2
Jadi, hasil pembagiannya x2 – x + 2.
14. Jawaban: a
Pembagi f(x) adalah (x2 – x – 2) = (x – 2)(x + 1)
berderajat dua, maka sisa pembagiannya paling
tinggi berderajat satu.
Misalkan sisa pembagiannya s(x) = ax + b, maka
f(2) = s(2) dan f(–1) = s(–1).
f(2) = s(2)
⇔ 24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = a(2) + b
⇔ 16 – 24 – 20 – 4 = 2a + b
⇔ 2a + b = –32 . . . (i)
f(–1) = s(–1)
⇔ (–1)4 – 3(–1)3 – 5(–1)2 – 1 – 6 = a(–1) + b
⇔ 1 + 3 – 5 – 7 = –a + b
⇔ –a + b = –8 . . . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
2a + b = –32
–a + b = –8
–––––––––– –
3a = –24
⇔ a = –8
Substitusikan a = –8 ke dalam persamaan (ii).
–a + b = –8
⇔ –(–8) + b = –8
⇔ 8 + b = –8
⇔ b = –16
Sisa = s(x) = ax + b
= –8x + (–16)
= –8x – 16
Jadi, sisa pembagiannya –8x – 16.
15. Jawaban: b
Misalkan sisa pembagian f(x) oleh (–x2 + 5x – 6)
= (–x + 3)(x – 2) adalah s(x) = ax + b, maka s(3) =
f(3) dan s(2) = f(2).
s(3) = f(3) ⇔ 3a + b = –2(3)3 + 4(3)2 + 3 + 7
⇔ 3a + b = –8 . . . (1)
s(2) = f(2) ⇔ 2a + b = –2(2)3 + 4(2)2 + 2 + 7
⇔ 2a + b = 9 . . . (2)
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).
3a + b = –8
2a + b = 9
––––––––––– –
a = –17
Substitusikan a = –17 ke dalam persamaan (2).
2a + b = 9
⇔ 2(–17) + b = 9
⇔ –34 + b = 9
⇔ b = 43
Sisa pembagian = ax + b
= –17x + 43
Jadi, sisa pembagiannya –17x + 43.
16. Jawaban: b
f(x) dibagi (x – 2) sisa 2, maka:
f(2) = 2 ⇔ 24 – 22 + 2p + 2 = 2
⇔ 16 – 4 + 2p = 0
⇔ 2p = –12
⇔ p = –6
Jadi, nilai p = –6.
17. Jawaban: d
Pembagian x3 – 9x2 + mx + 69 oleh (x – 3) menggunakan cara skema Horner sebagai berikut.
3 1 –9 m 69
3 –18 3m – 54
1 –6 m – 18 3m + 15 = 12
Diperoleh:
3m + 15 = 12
⇔ 3m = –3
⇔ m = –1
Pembagian x4 + 2x3 – 2x2 + nx + 26 oleh (x + 2)
menggunakan cara skema Horner sebagai berikut.
–2 1 2 –2 n 26
–2 0 4 –8 – 2n
1 0 –2 4 + n 18 – 2n = 12
Diperoleh:
18 – 2n = 12
⇔ –2n = –6
⇔ n = 3
Jadi, m + n = –1 + 3 = 2.
18. Jawaban: e
Pembagian 4x3 – 18x2 + 32x – 24 oleh (2x – 3)
dengan cara skema Horner sebagai berikut.
3
2 4 –18 32 –24
6 –18 21
4 –12 14 –3 ← s1
Pembagian 2x4 + 3x3 – 13x2 – mx + 15 oleh (2x – 3)
dengan cara skema Horner sebagai berikut.
3
2 2 3 –13 –m 15
3 9 –6 – 3
2 m – 9
2 6 –4 –m – 6 – 3
2 m + 6 ← s2
s1 = s2
⇔ – 3
2 m + 6 = –3
⇔ – 3
2 m = –9
⇔ m = 6
Jadi, nilai m = 6.
19. Jawaban: d
f(x) habis dibagi (x2 – 3x + 2) = (x – 2)(x – 1) maka
f(2) = 0 dan f(1) = 0.
f(2) = 23 – 4(22) + 2(a) + b
⇔ 0 = 8 – 16 + 2a + b
⇔ 2a + b = 8 . . . (i)
f(1) = 13 – 4(12) + 1(a) + b
⇔ 0 = 1 – 4 + a + b
⇔ a + b = 3 . . . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
2a + b = 8
a + b = 3
––––––––– –
a = 5
Substitusikan a = 5 ke dalam persamaan (ii).
a + b = 3
⇔ 5 + b = 3
⇔ b = –2
a – b = 5 – (–2) = 7
Jadi, nilai a – b = 7.
20. Jawaban: e
f(x) dibagi (x + 5) sisa 6, maka f(–5) = 6.
f(x) dibagi (x – 1) sisa –12, maka f(1) = –12.
Misalkan f(x) dibagi (x2 + 4x – 5) sisa ax + b.
f(x) = (x2 + 4x – 5) H(x) + (ax + b)
= (x + 5)(x – 1) H(x) + (ax + b)
f(–5) = 6 ⇒ 6 = 0 + (–5)a + b
⇔ 6 = –5a + b . . . (i)
f(1) = –12 ⇒ –12 = a + b . . . (ii)
Dari persamaan (i) dan (ii)
–5a + b = 6
a + b = –12
–––––––––––– –
–6a = 18
⇔ a = –3
Substitusikan a = –3 ke dalam persamaan (ii).
a + b = –12
⇔ –3 + b = –12
⇔ b = –9
Jadi, sisa pembagiannya –3x – 9.
21. Jawaban: c
f(x) = (x2 – 1)(x – 3) H(x) + ax2 + bx + c
f(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 3) H(x) + ax2 + bx + c
f(1) = a + b + c = 24 . . . (i)
f(–1) = a – b + c = 8 . . . (ii)
f(3) = 9a + 3b + c = 32 . . . (iii)
Dari persamaan (i) dan (ii)
a + b + c = 24
a – b + c = 8
––––––––––– –
2b = 16
⇔ b = 8
Dari persamaan (i) dan (iii)
a + b + c = 24
9a + 3b + c = 32
––––––––––––– –
–8a – 2b = –8
⇔ 8a + 2b = 8 . . . (iv)
Substitusikan b = 8 ke dalam persamaan (iv).
8a + 2b = 8
⇔ 8a + 16 = 8
⇔ a = –1
Dari persamaan (i)
a + b + c = 24
⇔ –1 + 8 + c = 24
⇔ c = 24 – 7
⇔ c = 17
Sisa bagi = ax2 + bx + c
= –x2 + 8x + 17
Jadi, sisa pembagiannya –x2 + 8x + 17.
22. Jawaban: d
f(x) dibagi (x2 – x) = x(x – 1) sisa (5x + 1), maka:
f(0) = 5(0) + 1 = 1
f(1) = 5(1) + 1 = 6
f(x) dibagi (x2 + x) = x(x + 1) sisa (3x + 1), maka:
f(0) = 3(0) + 1 = 1
f(–1) = 3(–1) + 1 = –2
Misalkan sisa pembagian f(x) oleh (x2 – 1) =
(x – 1)(x + 1) adalah s(x) = ax + b, maka s(1) =
f(1) dan s(–1) = f(–1).
s(1) = f(1) ⇔ a + b = 6
s(–1) = f(–) ⇔ –a + b = –2
–––––––––– –
2a = 8
⇔ a = 4
Substitusikan a = 4 ke dalam persamaan a + b = 6
diperoleh:
4 + b = 6
⇔ b = 2
Sisa = s(x) = ax + b
= 4x + 2
Jadi, sisa pembagiannya 4x + 2.
23. Jawaban: c
p(x) dibagi (x – 2) bersisa 4, maka p(2) = 4.
p(x) dibagi (2x + 3) bersisa –1, maka p(– 3
2 ) = –1.
f(x) dibagi (x – 2) bersisa 1, maka f(2) = 1.
f(x) dibagi (2x + 3) bersisa 3, maka f(– 3
2 ) = 3.
Misalkan h(x) dibagi (x – 2)(2x + 3) bersisa s(x) =
ax + b, maka:
s(2) = p(2) × f(2) = 4 ⇔ 2a + b = 4 . . . (1)
s(– 3
2 ) = h(– 3
2 ) = p(– 3
2 ) × f(– 3
2 ) = –3
⇔ – 3
2 a + b = –3 . . . (2)
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).
2a + b = 4
– 3
2 a + b = –3
––––––––––– –
7
2 a = 7
⇔ a = 7 × 2
7 = 2
Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (1).
2a + b = 4
⇔ 2(2) + b = 4
⇔ 4 + b = 4
⇔ b = 0
Sisa = ax + b = 2x.
Jadi, sisa pembagiannya 2x.
24. Jawaban: a
g(x) = x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) faktor dari f(x),
maka f(–3) = 0 dan f(2) = 0.
f(–3) = (–3)3 + a(–3)2 + b(–3) – 6 = 0
⇔ –27 + 9a – 3b = 6
⇔ 9a – 3b = 33 . . . (i)
f(2) = 23 + a(2)2 + b(2) – 6 = 0
⇔ 8 + 4a + 2b = 6
⇔ 4a + 2b = –2 . . . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
9a – 3b = 33 × 2 ⇔ 18a – 6b = 66
4a + 2b = –2 × 3 ⇔ 12a + 6b = –6
–––––––––––– +
30a = 60
⇔ a = 2
Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (ii).
4(2) + 2b = –2
⇔ 2b = –2 – 8
⇔ b = –5
Jadi, a – b = 2 – (–5) = 7.
25. Jawaban: e
h(x) = x2 + 3x – 4 = (x – 1)(x + 4)
h(x) faktor dari g(x), maka g(1) = 0 dan g(–4) = 0.
g(1) = 0
⇔ 14 + 2(13) – a(12) – 14(1) + b = 0
⇔ 1 + 2 – a – 14 + b = 0
⇔ –a + b = 11 . . . (i)
g(–4) = 0
⇔ (–4)4 + 2(–4)3 – a(–4)2 – 14(–4) + b = 0
⇔ 256 – 128 – 16a + 56 + b = 0
⇔ –16a + b = –184 .
. . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
–a + b = 11
–16a + b = –184
–––––––––––––– –
15a = 195
⇔ a = 13
Substitusikan a = 13 ke dalam persamaan (i).
–a + b = 11
⇔ –13 + b = 11
⇔ b = 24
Dengan demikian, diperoleh:
g(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24
g(x) dibagi oleh (x + 1) sisa g(–1).
g(–1) = (–1)4 + 2(–1)3 – 13(–1)2 – 14(–1) + 24
= 1 – 2 – 13 + 14 + 24 = 24
Jadi, g(x) dibagi oleh (x + 1) bersisa 24.
26. Jawaban: b
f(x) = 2x3 + x2 – 5x + n
(x – 1) merupakan faktor linear dari f(x) maka
f(1) = 0.
f(1) = 0 ⇔ 2(1)3 + 12 – 5(1) + n = 0
⇔ 2 + 1 – 5 + n = 0
⇔ n = 2
Dengan demikian, diperoleh
f(x) = 2x3 + x2 – 5x + 2
Faktor linear yang lain dicari dengan membagi
f(x) dengan (x – 1) menggunakan cara skema
Horner berikut.
1 2 1 –5 2
2 3 –2
2 3 –2 0
Dari pembagian di atas diperoleh hasil bagi
2x2 + 3x – 2.
Dengan demikian, f(x) dapat dituliskan sebagai
berikut.
f(x) = (x – 1)(2x2 + 3x – 2) = (x – 1)(2x – 1)(x + 2)
Jadi, faktor linear yang lain adalah (2x – 1) dan
(x + 2).
27. Jawaban: e
f(x) = 2x3 + x2 – 13x + a
x =
1
2 merupakan akar persamaan f(x) = 0, maka
f( 1
2 ) = 0.
f( 1
2 ) = 0
⇔ 2( 1
2 )3 + ( 1
2 )2 – 13( 1
2 ) + a = 0
⇔ 2( 1
8 ) + ( 1
4 ) – 13
2 + a = 0
⇔
1
4 +
1
4 – 13
2 + a = 0
⇔ –6 + a = 0
⇔ a = 6
Faktor yang lain dicari dengan cara membagi f(x)
dengan (2x – 1) menggunakan cara skema Horner
berikut.
1
2 2 1 –13 6
1 1 –6
2 2 2 –12 0
4 12
26 0
Dengan demikian, diperoleh:
f(x) = 2x3 + x2 – 13x + 6
= 1
2 (2x – 1)(x – 2)(2x + 6)
= (2x – 1)(x – 2)(x + 3)
Jadi, salah satu akar yang lain adalah x = –3.
28. Jawaban: c
Dengan cara skema Homer diperoleh:
2 2 –5 –1 6
4 –2 –6
2 –1 –3 0
p(x) = 2x3 – 5x2 – x + 6
= (x – 2)(2x2 – x – 3)
= (x – 2)(2x – 3)(x + 1)
2x – 3 = 0 ⇔ x2 = 3
2
x + 1 = 0 ⇔ x3 = –1
Jadi, pasangan akar persamaan p(x) = 0 adalah
3
2 dan –1.
29. Jawaban: c
Jika (x – a) faktor 4x4 – 15x2 + 15x + 6 = 0, nilai a
yang mungkin adalah faktor bulat dari 6 yaitu ±1,
±2, ±3, atau ±6.
f(1) = 4(14) – 15(12) + 5(1) + 6 = 0
Oleh karena f(1) = 0, maka (x – 1) faktor dari f(x).
1 4 0 –15 5 6
4 4 –11 –6
4 4 –11 –6 0
Hasil bagi f(x) oleh (x – 1) adalah 4x3 + 4x2 – 11x – 6.
f(–2) = 4(–2)3 + 4(–2)2 – 11(–2) – 6
= –32 + 16 + 22 – 6 = 0
Oleh karena f(–2) = 0, maka (x + 2) faktor dari f(x).
–2 4 4 –11 –6
–8 8 6
4 –4 –3 0
Hasil bagi f(x) oleh (x – 1)(x + 2) adalah 4x2 – 4x – 3.
4x2 – 4x – 3 = 0
⇔ (2x – 3)(2x + 1) = 0
⇔ x =
3
2 atau x = – 1
2
Jadi, banyak akar rasional bulat f(x) ada 2.
30. Jawaban: b
(x – 1) merupakan faktor linear f(x) = 4x4 – 15x2
+ 5x + n = 0 maka f(1) = 0.
f(1) = 4(1)4 – 15(1)2 + 5(1) + n = 0
⇔ 4 – 15 + 5 + n = 0
⇔ n = 6
Dengan demikian, diperoleh:
f(x) = 4x4 – 15x2 + 5x + 6 = 0
Polinomial f(x) mempunyai nilai a4 = 4, a3 = 0,
a2 = –15, a1 = 5, dan a0 = 6.
x1x2x3x4 = (–1)4 × 0
4
a
a
= (1) × 6
4 = 1 1
2
Jadi, nilai x1x2x3x4 = 1 1
2 .
Kalau kurang jelas bisa komen aja di bawah hehhe :)
A. Pilihan Ganda
1. Jawaban: c
2f(x) – g(x) = 2(x4 – 2x3 – 4x + 3) – (2x4 + x3
+ 7x2 + 5x – 8)
= 2x4 – 4x3 – 8x + 6 – 2x4 – x3 – 7x2 –
5x + 8
= 2x4 – 2x4 – 4x3 – x3 – 7x2 – 8x – 5x
+ 6 + 8
= –5x3 – 7x2 – 13x + 14
Jadi, hasil 2f(x) – g(x) = –5x3 – 7x2 – 13x + 14.
2. Jawaban: e
f(x) × g(x) = (x2 – 2x)(x2 – x + 1)
= x4 – x3 + x2 – 2x3 + 2x2 – 2x
= x4 – 3x3 + 3x2 – 2x
Jadi, koefisien x3 adalah –3.
3. Jawaban: c
Polinomial f(x) berderajat 5 dan polinomial g(x)
berderajat 3, maka derajat f(x) × g(x) adalah
5 + 3 = 8.
Polinomial f(x) berderajat 5, maka derajat (f(x))2
adalah 5 × 2 = 10.
Derajat polinomial hasil operasi f(x) × g(x) – (f(x))2
sama dengan maksimum dari derajat f(x) × g(x)
dan (f(x))2 yaitu 10.
Jadi, derajat f(x) × g(x) – (f(x))2 adalah 10.
4. Jawaban: e
f(–3) = 2(–3)3 – 3(–3) – 5
= –54 + 9 – 5 = –50
Jadi, nilai polinomial adalah –50.
5. Jawaban: c
f(0) = 2(0)4 + 4(0)2 + 0 + 1 = 1
f(2) = 2(2)4 + 4(2)2 + 2 + 1
= 2(16) + 4(4) + 2 + 1
= 32 + 16 + 2 + 1 = 51
f(2) – 2f(0) = 51 – 2(1) = 51 – 2 = 49
Jadi, nilai f(2) – 2f(0) = 49.
6. Jawaban: d
f(x) = x4 – 8
g(x) = x3 – 2x2 – 10
h(x) = f(x) – g(x) = x4 – 8 – (x3 – 2x2 – 10)
= x4 – x3 + 2x2 + 2
h(2)= (2)4 – (2)3 + 2(2)2 + 2
= 16 – 8 + 8 + 2
= 18
Jadi, nilai h(2) = 18.
7. Jawaban: d
f(x) = (x – 3)(2x2 – px + 4)
⇔ f(2) = (2 – 3)(2(2)2 – p(2) + 4)
⇔ –8 = (–1)(8 – 2p + 4)
⇔ –8 = (–1)(12 – 2p)
⇔ 8 = 12 – 2p
⇔ 2p = 4
⇔ p = 2
Jadi, nilai p = 2.
8. Jawaban: e
f(2) = 15 + f(–1)
⇔ 2(2)3 – 6(2)2 + p(2) + 7 = 15 + 2(–1)3 – 6(–1)2
+ p(–1) + 7
⇔ 16 – 24 + 2p + 7 = 15 – 2 – 6 – p + 7
⇔ 2p – 1 = 14 – p
⇔ 3p = 15
⇔ p = 5
Jadi, nilai p = 5.
9. Jawaban: d
f(1) = 0
⇔ 13 + a(12) + b(1) + 2 = 0
⇔ 1 + a + b + 2 = 0
⇔ a + b + 3 = 0
⇔ a + b = –3 . . . (i)
f(2) = 0
⇔ 23 + a(22) + b(2) + 2 = 0
⇔ 8 + 4a + 2b + 2 = 0
⇔ 4a + 2b + 10 = 0
⇔ 4a + 2b = –10 . . . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
a + b = –3 × 2 2a + 2b = –6
4a + 2b = –10 × 1 4a + 2b = –10
–––––––––––– – –2a = 4
⇔ a = –2
Substitusikan a = –2 ke dalam persamaan (i).
a + b = –3
⇔ –2 + b = –3
⇔ b = –1
Diperoleh a = –2 dan b = –1.
g(x) = x2 – (a + b)x + ab
= x2 – (–2 – 1)x + (–2)(–1)
= x2 + 3x + 2
g(–1) = (–1)2 + 3(–1) + 2
= 1 – 3 + 2
= 0
Jadi, nilai g(–1) = 0.
10. Jawaban: d
Pembagian f(x) oleh (x + 2) menggunakan cara
skema Horner sebagai berikut.
–2 1 2 –2 1 8
–2 0 4 –10
+
1 0 –2 5 –2
Hasil bagi = x3 – 2x + 5
Sisa = –2
11. Jawaban: d
Misalkan f(x) = x3 + 5x2 + mx + 7
f(x) dibagi (x – 2) sisa 29, maka f(2) = 29.
f(2) = 29
⇔ 23 + 5(22) + m(2) + 7 = 29
⇔ 8 + 20 + 2m + 7 = 29
⇔ 2m = 29 – 35
⇔ 2m = –6
⇔ m = –3
Jadi, nilai m = –3.
12. Jawaban: a
Pembagian f(x) oleh (2x – 1) menggunakan cara
skema Horner sebagai berikut.
1
2 2 –7 11 –8
1 –3 4
+
2 –6 8 –4
Jadi, sisa pembagiannya adalah –4.
13. Jawaban: d
Pembagian polinomial 2x3 + x2 + x + 10 oleh
(2x + 3) menggunakan cara skema Horner.
– 3
2 2 1 1 10
–3 3 –6
2 –2 4 4
Hasil bagi = 2 2x 2x 4
2
− + = x2 – x + 2
Jadi, hasil pembagiannya x2 – x + 2.
14. Jawaban: a
Pembagi f(x) adalah (x2 – x – 2) = (x – 2)(x + 1)
berderajat dua, maka sisa pembagiannya paling
tinggi berderajat satu.
Misalkan sisa pembagiannya s(x) = ax + b, maka
f(2) = s(2) dan f(–1) = s(–1).
f(2) = s(2)
⇔ 24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = a(2) + b
⇔ 16 – 24 – 20 – 4 = 2a + b
⇔ 2a + b = –32 . . . (i)
f(–1) = s(–1)
⇔ (–1)4 – 3(–1)3 – 5(–1)2 – 1 – 6 = a(–1) + b
⇔ 1 + 3 – 5 – 7 = –a + b
⇔ –a + b = –8 . . . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
2a + b = –32
–a + b = –8
–––––––––– –
3a = –24
⇔ a = –8
Substitusikan a = –8 ke dalam persamaan (ii).
–a + b = –8
⇔ –(–8) + b = –8
⇔ 8 + b = –8
⇔ b = –16
Sisa = s(x) = ax + b
= –8x + (–16)
= –8x – 16
Jadi, sisa pembagiannya –8x – 16.
15. Jawaban: b
Misalkan sisa pembagian f(x) oleh (–x2 + 5x – 6)
= (–x + 3)(x – 2) adalah s(x) = ax + b, maka s(3) =
f(3) dan s(2) = f(2).
s(3) = f(3) ⇔ 3a + b = –2(3)3 + 4(3)2 + 3 + 7
⇔ 3a + b = –8 . . . (1)
s(2) = f(2) ⇔ 2a + b = –2(2)3 + 4(2)2 + 2 + 7
⇔ 2a + b = 9 . . . (2)
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).
3a + b = –8
2a + b = 9
––––––––––– –
a = –17
Substitusikan a = –17 ke dalam persamaan (2).
2a + b = 9
⇔ 2(–17) + b = 9
⇔ –34 + b = 9
⇔ b = 43
Sisa pembagian = ax + b
= –17x + 43
Jadi, sisa pembagiannya –17x + 43.
16. Jawaban: b
f(x) dibagi (x – 2) sisa 2, maka:
f(2) = 2 ⇔ 24 – 22 + 2p + 2 = 2
⇔ 16 – 4 + 2p = 0
⇔ 2p = –12
⇔ p = –6
Jadi, nilai p = –6.
17. Jawaban: d
Pembagian x3 – 9x2 + mx + 69 oleh (x – 3) menggunakan cara skema Horner sebagai berikut.
3 1 –9 m 69
3 –18 3m – 54
1 –6 m – 18 3m + 15 = 12
Diperoleh:
3m + 15 = 12
⇔ 3m = –3
⇔ m = –1
Pembagian x4 + 2x3 – 2x2 + nx + 26 oleh (x + 2)
menggunakan cara skema Horner sebagai berikut.
–2 1 2 –2 n 26
–2 0 4 –8 – 2n
1 0 –2 4 + n 18 – 2n = 12
Diperoleh:
18 – 2n = 12
⇔ –2n = –6
⇔ n = 3
Jadi, m + n = –1 + 3 = 2.
18. Jawaban: e
Pembagian 4x3 – 18x2 + 32x – 24 oleh (2x – 3)
dengan cara skema Horner sebagai berikut.
3
2 4 –18 32 –24
6 –18 21
4 –12 14 –3 ← s1
Pembagian 2x4 + 3x3 – 13x2 – mx + 15 oleh (2x – 3)
dengan cara skema Horner sebagai berikut.
3
2 2 3 –13 –m 15
3 9 –6 – 3
2 m – 9
2 6 –4 –m – 6 – 3
2 m + 6 ← s2
s1 = s2
⇔ – 3
2 m + 6 = –3
⇔ – 3
2 m = –9
⇔ m = 6
Jadi, nilai m = 6.
19. Jawaban: d
f(x) habis dibagi (x2 – 3x + 2) = (x – 2)(x – 1) maka
f(2) = 0 dan f(1) = 0.
f(2) = 23 – 4(22) + 2(a) + b
⇔ 0 = 8 – 16 + 2a + b
⇔ 2a + b = 8 . . . (i)
f(1) = 13 – 4(12) + 1(a) + b
⇔ 0 = 1 – 4 + a + b
⇔ a + b = 3 . . . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
2a + b = 8
a + b = 3
––––––––– –
a = 5
Substitusikan a = 5 ke dalam persamaan (ii).
a + b = 3
⇔ 5 + b = 3
⇔ b = –2
a – b = 5 – (–2) = 7
Jadi, nilai a – b = 7.
20. Jawaban: e
f(x) dibagi (x + 5) sisa 6, maka f(–5) = 6.
f(x) dibagi (x – 1) sisa –12, maka f(1) = –12.
Misalkan f(x) dibagi (x2 + 4x – 5) sisa ax + b.
f(x) = (x2 + 4x – 5) H(x) + (ax + b)
= (x + 5)(x – 1) H(x) + (ax + b)
f(–5) = 6 ⇒ 6 = 0 + (–5)a + b
⇔ 6 = –5a + b . . . (i)
f(1) = –12 ⇒ –12 = a + b . . . (ii)
Dari persamaan (i) dan (ii)
–5a + b = 6
a + b = –12
–––––––––––– –
–6a = 18
⇔ a = –3
Substitusikan a = –3 ke dalam persamaan (ii).
a + b = –12
⇔ –3 + b = –12
⇔ b = –9
Jadi, sisa pembagiannya –3x – 9.
21. Jawaban: c
f(x) = (x2 – 1)(x – 3) H(x) + ax2 + bx + c
f(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 3) H(x) + ax2 + bx + c
f(1) = a + b + c = 24 . . . (i)
f(–1) = a – b + c = 8 . . . (ii)
f(3) = 9a + 3b + c = 32 . . . (iii)
Dari persamaan (i) dan (ii)
a + b + c = 24
a – b + c = 8
––––––––––– –
2b = 16
⇔ b = 8
Dari persamaan (i) dan (iii)
a + b + c = 24
9a + 3b + c = 32
––––––––––––– –
–8a – 2b = –8
⇔ 8a + 2b = 8 . . . (iv)
Substitusikan b = 8 ke dalam persamaan (iv).
8a + 2b = 8
⇔ 8a + 16 = 8
⇔ a = –1
Dari persamaan (i)
a + b + c = 24
⇔ –1 + 8 + c = 24
⇔ c = 24 – 7
⇔ c = 17
Sisa bagi = ax2 + bx + c
= –x2 + 8x + 17
Jadi, sisa pembagiannya –x2 + 8x + 17.
22. Jawaban: d
f(x) dibagi (x2 – x) = x(x – 1) sisa (5x + 1), maka:
f(0) = 5(0) + 1 = 1
f(1) = 5(1) + 1 = 6
f(x) dibagi (x2 + x) = x(x + 1) sisa (3x + 1), maka:
f(0) = 3(0) + 1 = 1
f(–1) = 3(–1) + 1 = –2
Misalkan sisa pembagian f(x) oleh (x2 – 1) =
(x – 1)(x + 1) adalah s(x) = ax + b, maka s(1) =
f(1) dan s(–1) = f(–1).
s(1) = f(1) ⇔ a + b = 6
s(–1) = f(–) ⇔ –a + b = –2
–––––––––– –
2a = 8
⇔ a = 4
Substitusikan a = 4 ke dalam persamaan a + b = 6
diperoleh:
4 + b = 6
⇔ b = 2
Sisa = s(x) = ax + b
= 4x + 2
Jadi, sisa pembagiannya 4x + 2.
23. Jawaban: c
p(x) dibagi (x – 2) bersisa 4, maka p(2) = 4.
p(x) dibagi (2x + 3) bersisa –1, maka p(– 3
2 ) = –1.
f(x) dibagi (x – 2) bersisa 1, maka f(2) = 1.
f(x) dibagi (2x + 3) bersisa 3, maka f(– 3
2 ) = 3.
Misalkan h(x) dibagi (x – 2)(2x + 3) bersisa s(x) =
ax + b, maka:
s(2) = p(2) × f(2) = 4 ⇔ 2a + b = 4 . . . (1)
s(– 3
2 ) = h(– 3
2 ) = p(– 3
2 ) × f(– 3
2 ) = –3
⇔ – 3
2 a + b = –3 . . . (2)
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).
2a + b = 4
– 3
2 a + b = –3
––––––––––– –
7
2 a = 7
⇔ a = 7 × 2
7 = 2
Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (1).
2a + b = 4
⇔ 2(2) + b = 4
⇔ 4 + b = 4
⇔ b = 0
Sisa = ax + b = 2x.
Jadi, sisa pembagiannya 2x.
24. Jawaban: a
g(x) = x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) faktor dari f(x),
maka f(–3) = 0 dan f(2) = 0.
f(–3) = (–3)3 + a(–3)2 + b(–3) – 6 = 0
⇔ –27 + 9a – 3b = 6
⇔ 9a – 3b = 33 . . . (i)
f(2) = 23 + a(2)2 + b(2) – 6 = 0
⇔ 8 + 4a + 2b = 6
⇔ 4a + 2b = –2 . . . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
9a – 3b = 33 × 2 ⇔ 18a – 6b = 66
4a + 2b = –2 × 3 ⇔ 12a + 6b = –6
–––––––––––– +
30a = 60
⇔ a = 2
Substitusikan a = 2 ke dalam persamaan (ii).
4(2) + 2b = –2
⇔ 2b = –2 – 8
⇔ b = –5
Jadi, a – b = 2 – (–5) = 7.
25. Jawaban: e
h(x) = x2 + 3x – 4 = (x – 1)(x + 4)
h(x) faktor dari g(x), maka g(1) = 0 dan g(–4) = 0.
g(1) = 0
⇔ 14 + 2(13) – a(12) – 14(1) + b = 0
⇔ 1 + 2 – a – 14 + b = 0
⇔ –a + b = 11 . . . (i)
g(–4) = 0
⇔ (–4)4 + 2(–4)3 – a(–4)2 – 14(–4) + b = 0
⇔ 256 – 128 – 16a + 56 + b = 0
⇔ –16a + b = –184 .
. . (ii)
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii).
–a + b = 11
–16a + b = –184
–––––––––––––– –
15a = 195
⇔ a = 13
Substitusikan a = 13 ke dalam persamaan (i).
–a + b = 11
⇔ –13 + b = 11
⇔ b = 24
Dengan demikian, diperoleh:
g(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24
g(x) dibagi oleh (x + 1) sisa g(–1).
g(–1) = (–1)4 + 2(–1)3 – 13(–1)2 – 14(–1) + 24
= 1 – 2 – 13 + 14 + 24 = 24
Jadi, g(x) dibagi oleh (x + 1) bersisa 24.
26. Jawaban: b
f(x) = 2x3 + x2 – 5x + n
(x – 1) merupakan faktor linear dari f(x) maka
f(1) = 0.
f(1) = 0 ⇔ 2(1)3 + 12 – 5(1) + n = 0
⇔ 2 + 1 – 5 + n = 0
⇔ n = 2
Dengan demikian, diperoleh
f(x) = 2x3 + x2 – 5x + 2
Faktor linear yang lain dicari dengan membagi
f(x) dengan (x – 1) menggunakan cara skema
Horner berikut.
1 2 1 –5 2
2 3 –2
2 3 –2 0
Dari pembagian di atas diperoleh hasil bagi
2x2 + 3x – 2.
Dengan demikian, f(x) dapat dituliskan sebagai
berikut.
f(x) = (x – 1)(2x2 + 3x – 2) = (x – 1)(2x – 1)(x + 2)
Jadi, faktor linear yang lain adalah (2x – 1) dan
(x + 2).
27. Jawaban: e
f(x) = 2x3 + x2 – 13x + a
x =
1
2 merupakan akar persamaan f(x) = 0, maka
f( 1
2 ) = 0.
f( 1
2 ) = 0
⇔ 2( 1
2 )3 + ( 1
2 )2 – 13( 1
2 ) + a = 0
⇔ 2( 1
8 ) + ( 1
4 ) – 13
2 + a = 0
⇔
1
4 +
1
4 – 13
2 + a = 0
⇔ –6 + a = 0
⇔ a = 6
Faktor yang lain dicari dengan cara membagi f(x)
dengan (2x – 1) menggunakan cara skema Horner
berikut.
1
2 2 1 –13 6
1 1 –6
2 2 2 –12 0
4 12
26 0
Dengan demikian, diperoleh:
f(x) = 2x3 + x2 – 13x + 6
= 1
2 (2x – 1)(x – 2)(2x + 6)
= (2x – 1)(x – 2)(x + 3)
Jadi, salah satu akar yang lain adalah x = –3.
28. Jawaban: c
Dengan cara skema Homer diperoleh:
2 2 –5 –1 6
4 –2 –6
2 –1 –3 0
p(x) = 2x3 – 5x2 – x + 6
= (x – 2)(2x2 – x – 3)
= (x – 2)(2x – 3)(x + 1)
2x – 3 = 0 ⇔ x2 = 3
2
x + 1 = 0 ⇔ x3 = –1
Jadi, pasangan akar persamaan p(x) = 0 adalah
3
2 dan –1.
29. Jawaban: c
Jika (x – a) faktor 4x4 – 15x2 + 15x + 6 = 0, nilai a
yang mungkin adalah faktor bulat dari 6 yaitu ±1,
±2, ±3, atau ±6.
f(1) = 4(14) – 15(12) + 5(1) + 6 = 0
Oleh karena f(1) = 0, maka (x – 1) faktor dari f(x).
1 4 0 –15 5 6
4 4 –11 –6
4 4 –11 –6 0
Hasil bagi f(x) oleh (x – 1) adalah 4x3 + 4x2 – 11x – 6.
f(–2) = 4(–2)3 + 4(–2)2 – 11(–2) – 6
= –32 + 16 + 22 – 6 = 0
Oleh karena f(–2) = 0, maka (x + 2) faktor dari f(x).
–2 4 4 –11 –6
–8 8 6
4 –4 –3 0
Hasil bagi f(x) oleh (x – 1)(x + 2) adalah 4x2 – 4x – 3.
4x2 – 4x – 3 = 0
⇔ (2x – 3)(2x + 1) = 0
⇔ x =
3
2 atau x = – 1
2
Jadi, banyak akar rasional bulat f(x) ada 2.
30. Jawaban: b
(x – 1) merupakan faktor linear f(x) = 4x4 – 15x2
+ 5x + n = 0 maka f(1) = 0.
f(1) = 4(1)4 – 15(1)2 + 5(1) + n = 0
⇔ 4 – 15 + 5 + n = 0
⇔ n = 6
Dengan demikian, diperoleh:
f(x) = 4x4 – 15x2 + 5x + 6 = 0
Polinomial f(x) mempunyai nilai a4 = 4, a3 = 0,
a2 = –15, a1 = 5, dan a0 = 6.
x1x2x3x4 = (–1)4 × 0
4
a
a
= (1) × 6
4 = 1 1
2
Jadi, nilai x1x2x3x4 = 1 1
2 .
Komentar
Posting Komentar